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根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程论文

发布时间:2024-02-09 15:02:04 文章来源:SCI论文网 我要评论














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  摘要:以例举的方式,分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度,确定两点之间的最短路程,以及最短路径长度的计算方法.

  关键词:地球表面;经线;纬线;最短路径;圆弧长度

  由于球体的表面是曲面不是平面,所以,沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线,而非直线.运用数学知识可以证明,在球面上连接任意两点的所有曲线中,过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上,这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.

  运用这一结论,对于地球表面上给定的两点,在已知它们经度和纬度的情况下,依地球半径作为已知条件,利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.

  1同一经线上两点之间的最短路程

  例1已知地球的半径为6 400 km,E、F是地球表面上的两点,其经纬度坐标分别为E(20°W,50°N)、F(20°W,40°S),求地球表面上这两点间最短路径的长度.

  分析依题意可知,E、F两点在同一条经线上,由于经线所在圆的圆心就是地球的球心,所以,地球表面上同一经线上两点间的最短路程,等于这两点之间的经线圆弧的长度.

  解析设地球的半径为R,球心为点O,E、F两点间的经线圆弧的长度为l,则有

根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程论文

  2同一纬线上两点之间的最短路程

  需要说明的是,如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向),且这条纬线不是赤道的话,它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点,认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度,等于这两点之间纬线圆弧的长度).

  例题2已知地球的半径为6400 km,E、F是地球表面上的两点,其经纬度坐标分别为E(20°W,60°N)、F(80°W,60°N),求地球表面上这两点间最短路径的长度

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  答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是3 236 km.

  我们将这一数据与过EF两点纬线上,圆弧EF的长度相比较,设该圆弧长度为l,则

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  可以看出,纬线上EF两点间的圆弧长度比球面上经过EF的最大圆的圆弧长度多出了114 km.

  3地球表面任意两点间的最短路程

  例题3如图2所示,已知地球的半径为6 400 km,E、F是地球表面上的两点,其经纬度坐标分别为E(20°W,15°S)、F(80°W,75°N),求地球表面上这两点之间最短路径的长度.

  分析由题目条件可知,E、F两点既不在同一条经线上,也不在同一条纬线上.参照上面两例题的解法,我们只需确定E、F两点所对地球球心圆心角的大小即可.

  解析如图2所示,分别作出过E、F两点的地球的经线和纬线,并作出赤道平面.设∠EAC=α(两条经线的经度之差),半径OC、OF与赤道平面的夹角分别是β和θ,由题目条件可知∠EAC=α=60°,β=15°,θ=75°,则:

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  将图2中的等腰梯形ECFD隔离出来单独分析,如图3所示,过其顶点D、F作该梯形的两条高线DP和FQ,垂足分别为P、Q,由勾股定理可知

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  答:北京和悉尼间最短航线的长度约为8 200 km.

  当然,这里计算出的数据只是理论数据,两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响,飞机的实际飞行路线很可能会偏离“标准”的圆弧线,中途出现“拐弯”的情形,所以实际航线的长度会比理论值大一些.

  参考文献:

  [1]陈龙.追溯“源头”拨开云雾见“真身”:例析“与圆相关的最值问题”[J].数理化解题研究,2022(6):84-86.

  [2]许婷婷.例谈立体图形表面最短距离[J].高中数理化,2019(10):16-17.

  [3]牛可新.巧解“求曲线上的点到直线的最短距离”题[J].数学学习与研究,2013(9):99.

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