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例谈用向量解题的几种常见类型论文

发布时间:2024-02-08 12:24:39 文章来源:SCI论文网 我要评论














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  摘要:向量是兼具数与形的一种数学解题工具,向量法体现了数形结合的数学思想.文章通过几道例题阐述了用向量解题的几种常见类型.

  关键词:向量;数量积;不等式;角度;距离

  1利用向量证明不等式

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  评析例1与例2中分别是两个和n个字母的代数和,联想到了向量的数量积,从而构造两个向量,将不等式的证明问题转化为两个向量的模长问题,而后利用向量数量积的性质,巧妙地证明了不等式.三道例题层层递进,由特殊到一般进行了推广,但本质都与向量的数量积相关.此处,向量法体现了数学转化的数学思想,是值得深究和推广的一种数学方法.

  2利用平面向量求平面角

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  评析例3采用了向量的数量积巧妙地对题目所给角的三角函数进行了求解,需要说明的是,此例题除了可以直接利用向量的基本运算求出角的三角函数值之外,也可以建立直角坐标系,将向量坐标化,从而利用向量的坐标运算进行求解.此外,还可以采用其他的一些方法求解,比如转化和化归,利用和差角公式等求解.

  3利用空间向量判断直线之间的位置关系

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  评析例4是空间中求直线与直线所成角的问题,考虑到直三棱柱的特殊性,可以建立空间直角坐标系,将异面直线向量化,从而将问题转化为求两个空间向量之间夹角的问题.用向量法求解空间中异面直线之间所成的角,有效实现了问题的转化,将抽象问题形象化,培养了学生直观想象的核心素养.当然,对于文科学生而言,可以选择通过平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,再用平面几何知识作答.

  4利用空间向量求线面角

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  评析直线与平面所成的角一般求解步骤是:作垂线—找射影—确定线面角—解直角三角形求角.例5中的几何体是正方体,非常便于建立空间直角坐标系,所以通过建系求出平面的法向量和直线的方向向量,充分利用方向向量和法向量的性质可以巧妙求解线面角.

  5利用空间向量求二面角

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  评析二面角大小是用其平面角刻画的,如果是在非特殊几何体中,用定义法求二面角的平面角一般比较困难.这时,通过两个平面的法向量,将二面角的平面角转化为两个向量的夹角或其补角,从而利用向量法解决问题,充分体现了向量的工具作用.

  6利用空间向量求空间距离

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  评析从本例可以看出,向量法可以用于求解线段的长度、证明两条线段相等、求点到平面的距离等问题.向量的大小反映了线段的长度,向量的方向体现了角度问题,两个向量的数量积既包含了线段的长度问题,又体现了线与线、线与面、面与面的夹角问题.所以说,利用向量可以解决平面及空间中的长度、角度、距离等问题.

  参考文献:

  [1]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[M].北京:知识出版社,2015.

  [2]董强.一道不等式证明题的多种解法探究[J].数理天地(高中版),2016(4):10,12.

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本文标签: 向量 ,数量积 ,不等式

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