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平面向量的工具性及解题应用论文

发布时间:2024-02-08 12:12:30 文章来源:SCI论文网 我要评论














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  摘要:向量是集数与形于一身的数学研究工具,具有表示形式多样、运算法则丰富、思想深刻、应用广泛的特点,为处理代数、几何、三角、不等式等各领域数学问题提供基础工具和方法,在解决各类问题中发挥重要作用.

  关键词:平面向量;几何与代数;工具性

  课程标准指出:向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁.《普通高中数学课程标准》(2017年版)首次设置了“几何与代数”内容主线,一是为线性代数的学习建立几何直观,二是学习用代数方法解决几何问题.向量概念的建立,使我们有了集数与形于一身的数学研究工具.高中阶段,学习向量法解决几何问题是基本任务,具体而言是几何对象的抽象与表示、图形性质的内涵与发现等,通过向量基本定理及其坐标表示研究几何图形组成元素的相互关系.向量作为代数对象,具有丰富的运算形式和运算法则,通过加、减、数乘,特别是数量积的运算研究数量和数量关系.向量的工具性可以描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题,这使得向量应用范围非常广泛,也使得向量可以交汇几何、代数、三角、不等式等综合问题.

  1向量是描述几何图形的工具

  几何对象是图形(点、线、面、体)和图形的关系,用向量的语言可以表示空间图形的概念、性质、关系和变换等.如向量的加法及运算律、向量的数乘及运算律、向量的数量积和运算律、向量基本定理等,这几个一般定理对最基本的几何图形性质作出了向量表达.

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  2向量是代数运算的对象

  向量的特殊性在于它既有“大小”,又有“方向”,我们用集大小和方向于一身的数学符号表示向量,当然,我们也可以将它的要素拆解开来,向量的概念与表示,相伴相随的是大小、方向、投影,这些量又可以单纯地作为代数内容研究,从而与函数、方程、不等式、三角等知识交汇综合.

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  解读尽管向量也是几何研究对象,但对它的研究是按代数对象的研究路径展开的.向量的几何表示可以用有向线段来表示,涉及的几何意义除了有大小和方向,还有三角形法则、平行四边形法则、平行共线、三点共线、平面向量基本定理、投影、垂直、长度、夹角等,这些几何关系都可以通过向量转化为代数运算.代数运算是程序化的,如求函数的最值问题,可以化为一元函数求最值,也可以利用二元变量的不等式性质求最值.

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  3向量是数形结合的有力工具

  向量是数形结合的强有力工具,用向量研究图形位置关系和数量关系有天然的优势,向量有加、减、数乘、数量积等运算,有符号表示和坐标表示两套系统,向量基本定理处于向量理论与应用的联结点位置,以此为基础,可以进行“图形运算”和“代数运算”.用向量解决几何问题,对象是几何图形及其关系,方法是代数运算,用代数运算论证几何关系,其中的桥梁就是向量.从这个角度来讲,向量是一种有用的数学语言,通过向量语言、方法,表述和解决平面几何问题、力学问题、三角问题及其它实际问题.

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  解读向量几何是不依赖于坐标系的解析几何,向量法是利用运算律解决几何问题,而运算过程实际上就是利用基本几何图形性质的过程.在向量运算中尤其特殊的是数量积的运算,不仅可以解决几何中的平行、垂直关系的判定,还可以进行长度、角度的计算,自然地将代数、几何、三角等不同的内容或方法结合在一起.

  另外,向量的深刻性是建立了基底的思想,平面作为二维空间,将平面所有向量可以用一组基底线性表示,起到“书同文、车同轨”的作用,又可以类比为颜色中的“三原色”,将所有运算转化为基底上的系数运算或坐标运算,向量代数是空间结构的全面而且美妙的代数.以单位正交向量为基底,建立了向量与点的坐标之间一一对应的关系,利用向量的坐标运算,可以把向量运算化归为其分量的运算,这样就实现了用向量表示几何基本元素,通过实数运算研究几何图形和图形关系,从而也就彻底实现了几何对象的代数化,也就是解析法.

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  总之,向量计算不仅提供了表达各种各样基本几何量的有效公式,而且其运算律本身其实就是空间本质的一种至精至简的表达.对于平面向量的综合应用问题,应深刻理解向量的本质与特征,用好这个数形融合的工具,用向量去表达和计算.当然也可以充分利用化归与转化思想,将向量语言翻译和转化为代数、三角、平面几何、解析几何等熟悉的问题来进行求解.

  参考文献:

  [1]章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M].上海:华东师范大学出版社,2021.

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