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对一道“椭圆上一点到直线的距离”试题的探究论文

发布时间:2024-02-06 12:02:57 文章来源:SCI论文网 我要评论














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   摘 要 : 本文从多角度对椭圆上一点到直线的距离问题进行分析,挖掘解题策略.

  关键词 : 距离,一题多解,数形结合,参数方程

  1 案例剖析
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  评注 上述解法既可以引导学生进行自主探究 学习,又可以直观体现距离的变化规律,以形助数, 思路自然清晰,运算简单,直达本质,有助于完善学 生的知识体系.同时,在分析问题、解决问题的过程 中,可以培养学生的逻辑推理和直观想象素养.
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  评注 相较于设出点 P 的直角坐标,参数由两 个变成一个,且还可以通过三角恒等变形公式化简, 降低了解题的思维难度,可操作性显著增强.在运算 中,培养学生的数形结合思想,让其体会用解析的方 法来处理几何问题,培养运算能力.
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  评注 此解法的关键是将已知关系式和所求表 达式利用柯西不等式联系起来,只要能弄清公式特征,应用准确,即可求出最值.
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  从而,根据上式两端取值,可以得到距离公式的分子的范围,进而可以得到距离的最值.

  探究 2 圆、抛物线和双曲线上一点到直线距 离的最值.

  椭圆上一点到直线的距离的最值可以由上述三种方法得到,那么拓展到其他三种圆锥曲线,能不能 由上述方法得到呢? 还有没有其他方法? 带着这些问题,展开下面的探究 :

  2.1 圆上一点到直线距离的最值
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  2.2 抛物线上一点到直线距离的最值

  对于抛物线而言,其上一点到直线的距离的最 值可以用参数方程和数形结合来处理,由于其标准 方程的结构特征,不能用柯西不等式解决,但是恰好 可以设含有一个未知数的点的直角坐标,直接利用 距离公式表示,二次函数求最值予以解决,当然也可 以用参数方程来解决,但是其表达式的简洁程度没 有用直角坐标好,可以根据具体题型适当选用.
 
  例 3 (2021 年榆林一模) 抛物线 y = 4x2 上一 点到直线 y = 4x -5 的距离最短,则该点的坐标是.解法 1 设与 y = 4x -5 平行的直线 y = 4x + b 与 y = 4x2 相切,将 y = 4x + b 代入 y = 4x2 ,得4x2 -4x-b = 0.①

由Δ = 16 + 16b = 0 得 b = -1.代入①得 x =1/2
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  2.3 双曲线上一点到直线距离的最值

  对于双曲线而言,其图象开放而不封闭,方程的 对称性也没有椭圆方程好,所以与其相关问题处理 难度较大,而对于其上一点到直线的距离的最值问 题,数形结合相对较简单,参数方程也可以处理,但 是过程较麻烦,在此就不做研究.

  3 高考真题赏析
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  《普通高中数学课程标准》指出 : 学习高中数学 课程的目标是让学生获得“四基” ,提高“四能” ,发 展“六大核心素养”.因而在教学过程中,要了解学 情,结合灵活多样的教学手段,设置问题情景,不断 调动学生学习的主动性和积极性.在课堂上,要关注 学生思维的变化,鼓励学生动脑、动手、动口,积极参 与课堂,不断启发引导,让课堂活起来,让课堂在研 究、讨论、质疑、实践中碰撞出思维的火花.在探索 中,培养学生的数学学科核心素养,让他们可以用数 学的眼光去认识事物、解决问题,建构自己的数学知识体系,最终让他们逐步形成必备品格和关键能力.

  参考文献 :

  [1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标 准(2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社,2020 .

  [2]鲁和平.对高中数学“一题多解”教学的辩证思考[J].中学教研(数学) ,2019(05) : 29-31 .
 
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