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2022 年高考数学北京卷压轴题的自然解法论文

发布时间:2022-09-26 15:14:03 文章来源:SCI论文网 我要评论














SCI论文(www.scipaper.net):
 
  摘  要 :2022 年高考数学北京卷压轴题(即第 21 题,属组合数学范畴)以数列为载体,考查学 生对新情境新知识的理解,让学生在阅读数学符号和认识新概念的基础上,即时学习并创新应用, 体现了获取新知识的能力和创新意识. 文章给出了一种自然解法.
  
  关键词:2022 年高考数学北京卷;压轴题;组合数学;自然解法
  
  题目  (2022 年高考数学北京卷第 21 题)己知
  
  Q :a1,a2,…,ak  为有穷整数数列. 给定正整数 m,若对任意的 n ∈ { 1,2,…,m },在 Q 中存在 ai,ai +1, ai+2,…,ai+j (j ≥0),使得 ai  +ai +1   +ai+2   + … +ai+j   =n,则称 Q 为 m -连续可表数列.
  
  (1)判断 Q :2,1,4 是否为 5 -连续可表数列? 是否为 6 -连续可表数列? 说明理由;
  

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  (2)若 Q :a1,a2,…,ak  为 8 -连续可表数列,求 证 :k 的最小值为 4;
  
  (3)若 Q :a1,a2,…,ak   为 20 -连续可表数列, 且 a1  +a2  + …+ak  <20,求证 :k ≥7 .
  
  解析  (1)由题设可得 a1  =2,a2  =1,a3  =4.
  
  因为 1 =a2,2 =a1,3 =a1   +a2,4 =a3,5 =a2   +a3;6≠a1,a2,a3,a1  +a2,a2  +a3,a1  +a2  +a3,
  
  所以 Q :2,1,4 为 5 -连续可表数列,不为 6 -连续可表数列.
  
  (2)若 k =1,则数列 Q :a1   只可能是 1 -连续可 表数列;若 k=2,且数列 Q :a1,a2  为 m -连续可表数列,则 m≤3(因为由题设中的表述方法,最多只能 表示出 a1,a2,a1  +a2  共 3 个两两互异的数);若 k =
  
  3,且数列 Q :a1,a2,a3  为 m -连续可表数列,则 m≤ 3(因为由题设中的表述方法,最多只能表示出 a1, a2,a3,a1  +a2,a2  +a3,a1   +a2  +a3  共 6 个两两互异 的数) .
  
  同理,可证得一般的结论 :若有穷整数数列 Q :
  
  a1,a2,…,ak  为 m -连续可表数列,则 m≤k + ( k-1 ) + (k -2 ) + … +1 = k(k +1 ).
  
  容易验证数列 Q :2,4,1 ,3 为 8 -连续可表数列.
  
  综上所述,可得欲证结论成立.
  
  (3 )若数列 Q :a1  ,a2 ,…,ak (k ≤5 )为 20 - 连续可表数列,则 20 ≤5 +4 +3 +2 + 1 = 15 ,这不可能! 因而满足题设的k ≥6.
  
  若 k =6 ,得整数数列 Q :a1  ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6   中 的连续若干项(至少一项,下同) 的和 a1  ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6;a1  +a2 ,a2  + a3 ,a3  + a4 ,a4  + a5 ,a5  + a6;a1  + a2  +a3 ,a2  +a3  +a4 ,a3  +a4  +a5 ,a4  +a5  +a6;a1   +a2 +a3  +a4 ,a2  +a3   +a4  +a5 ,a3   +a4  +a5   +a6;a1   +a2+a3  +a4  +a5 ,a2  +a3  +a4  +a5  +a6;a1   +a2  +a3  +a4+a5  +a6  最多能表示(下简称数列 Q 的连续项和表 示)出 21 个两两互异的正整数,且题设是能表示出 1 ,2 ,3 ,…,20 这 20 个正整数.
  
  ①若数列 Q 的六项均是自然数,由题设 a1   +a2 +a3  +a4  +a5   +a6  < 20 ,可得数列 Q 的连续项和均 小于 20(没有表示出 20),与题设矛盾! 所以数列 Q 中有负项且负项的项数是 1(若存在两个负项,则数
  
  列 Q 的连续项和表示中会少两个正整数,至多能表 示 21 -2 =19 个正整数,不满足题设).
  
  若数列 Q 的项中还有 0 ,则数列 Q 的连续项和 表示中会少两个正整数(负项与 0 ),不满足题设,因 而数列 Q 的项是一项负五项正(且这五个正项两两 互异).
  
  还可得 :数列 Q 的连续项和表示中除负项这个 和外组成的集合是{1 ,2 ,3 ,…,20 }. 因为其中最大的是 20 ,所以 20 的连续项和表示是最多的连续若 干个正项之和(即对数列 Q 的连续正项全部求和).
  
  ②因为“若数列 Q :a1  ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6   满足题 设,则数列 Q′ :a6 ,a5 ,a4 ,a3 ,a2 ,a1   也满足题设”,所 以可只考虑数列 Q :a1  ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 (a1   < 0 或 a2<0 或 a3  <0)的情形.
  
  若 a2  <0 且数列 Q 的其余五项都是正项,则 a1   =20 或 a3  +a4  +a5   +a6  =20. 若 a1   =20 ,则由 20 > a1  +a2  +a3  +a4  +a5  +a6 ,可得 a2  +a3  +a4  +a5  +a6   <0 ,得数列 Q 的连续项和表示中的 a2 ,a2  +a3   +a4   +a5  +a6  均不是正整数;若 a3  +a4  +a5  +a6  =20 ,则 由 20 > a1   +a2  +a3   +a4  + a5   + a6 ,可得 a1   + a2   < 0 ,
  
  得数列 Q 的连续项和表示中的 a2 ,a1   +a2  均不是正 整数. 均不满足题设.
  
  同理,可证得 a3  <0 也不满足题设. 因而 a1  <0 , 且 a2  +a3  +a4  +a5  +a6  =20.
  
  ③若两两互异的五个正整数 a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6   中 没有 1 ,则 20 =a2  +a3  +a4  +a5  +a6 ≥2 +3 +4 +5 + 6 =20.
  
  因而{a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 } = {2 ,3 ,4 ,5 ,6 }.
  
  再由数列 Q 的连续项和表示中最小的正数是1 ,可得 a1  +a2  =1 .
  
  若∃i ∈ {3 ,4 ,5 ,6 },a1  +ai =0 ,则a1  +a2 + … +ai =a2 +a3 + … +ai - 1 .
  
  得数列 Q 的连续项和表示中会少表示一个正整 数,不满足题设,因而∀j ∈ {2,3 ,4,5 ,6 },a1 +aj ≠0.
  
  而 aj  ∈ {2 ,3 ,4 ,5 ,6 },
  
  所以 a1  ∉ { -2 ,-3 ,-4 ,-5 ,-6 }.     再由 a1  =1 -a2 ,a2  ∈ {2 ,3 ,4 ,5 ,6 },可得
  
  a1  = -1 ,a2 =2 ,{ a3 ,a4 ,a5 ,a6 } = {3 ,4 ,5 ,6 },a2
  
  +a3  +a4  +a5  +a6  =20 ,a1   +a2  +a3   +a4  +a5   +a6  =19 ,a3 +a4 +a5 +a6 =18 .
 

\
 
  
  再得数列 Q 的连续项和表示中 17 的表示只可 能是 a2  +a3  +a4  +a5   = 17 ,进而可得 a1   = - 1 ,a2  = 2 ,{ a3 ,a4 ,a5 } = {4 ,5 ,6 },a6 =3 .
  
  又由数列 Q 的连续项和表示中有 14 ,可得 a3  = 4 ,{ a4 ,a5 } = {5 ,6 },得数列 Q 是 - 1 ,2 ,4 ,5 ,6 ,3 (但a2 +a3 =a5 )或 - 1 ,2 ,4 ,6 ,5 ,3(但 a2  +a3  =a4 ),均 不可能,因而 a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6   中有 1 .
  
  ④由数列 Q 的连续项和表示中有 19 及 a1   +a2 +a3  +a4  +a5   +a6  < 20 ,可得 a2  = 1 或 a6  = 1(得 a2+a3 +a4  + a5  = 19)或 a1  + a2  + a3  + a4  + a5  + a6  = 19(a1  = -1).
  
  若 a2  =1 ,则 a1  +a2  =a1   + 1≤0 ,得数列 Q 的连 续项和表示中会少表示一个正整数;若 a1   = - 1 ,可 得 a2 ≠1(否则 a1   +a2  =0 ,数列 Q 的连续项和表示 中会少表示一个正整数),所以 ∃i ∈ {3 ,4 ,5 ,6 },a1+ai  =0 ,得 a1  +a2  + … +ai  =a2  +a3   + … +ai -1  ,数 列 Q 的连续项和表示中会少表示一个正整数. 均不 满足题设.
  
  所以 a2  +a3  +a4  +a5  =19 ,a1  ≤ -2 ,a6  =1 .
  
  ⑤由数列 Q 的连续项和表示中有 18 及和为 19 的两两互异的四个数 a2 ,a3 ,a4 ,a5  均大于 1 及 a1   + a2  +a3  +a4  +a5 ≤17 ,可得 a1   +a2  +a3  +a4  +a5  +a6=18(得 a1   = -2)或 a3   +a4  +a5   +a6  = 18(得 a3   + a4  +a5  = 17 ,a2  =2 ,a1   + a2  ≤0 ,数列 Q 的连续项和 表示中会少表示一个正整数).
  
  所以 a1  = -2 ,a2  +a3  +a4  +a5  =19 ,a6  =1 .
  
  ⑥由数列 Q 的连续项和表示中有 16 及和为 19 的两两互异的四个数 a2 ,a3 ,a4 ,a5  均大于 1(且 a2 ≥ 4 :因为 0 < a1  +a2  =a2  -2≠a6  =1)及 a1   +a2  +a3  + a4  +a5  = 17 ,可得 a2  +a3   +a4  = 16(得 a5   =3)或 a3+a4  +a5  +a6  =16(得 a3  +a4  +a5  = 15 ,a2  =4)或 a4+a5  +a6  =16(得 a2  +a3  =4 ,与 a2 ≥4 矛盾)或 a5  + a6  =16(得 a2  +a3  +a4  =4 ,与 a2 ≥4 矛盾).
  
  (ⅰ) a1 = -2,a2 ≥4,a2 +a3 +a4 =16,a5 =3 ,a6 =1 . 由数列 Q 的 连 续 项 和 表 示 中 有 15 ( 可 证 得15 的表示中没有 a 1  也没有 a2 ) ,可得 a3  + a4  + a5= 15(得 a3  + a4  = 12 ,a2  =4 = 3 + 1 = a5  + a6 ,这不可能)或 a3  + a4  + a5  + a6  = 15( 得 a3   + a4  = 1 1 , a2  =5 ,a 1   + a2  =3 = a5  ,这不可能) 或 a4   + a5   = 15 (得 a4  = 12 ,a2  + a3  =4 ,与 a2 ≥4 矛盾) 或 a4  + a5+ a6 = 15( 得 a4  = 1 1 ,a2  + a3  = 5 ,再得 a2  =4 ,a3 = 1 = a6  ,这不可能).
  
  ( ⅱ )a1  = -2 ,a2 =4 ,a3 +a4 +a5 =15 ,a6 =1 .
  
  由数列 Q 的连续项和表示中有 14 ,可得 a1   +a2   +a3 = 14(得 a3  = 12 ,a4  +a5  =3 ,{ a4 ,a5 } = { 1 ,2 }, 得 a6  与 a4  或 a5  重复,这不可能)或 a1  +a2  +a3  +a4   =14(得 a3  +a4  =12 ,a5  =3 ,a2  =4 =3 + 1 =a5  +a6 ,这不可能) 或 a2   + a3   = 14(得 a3   = 10 ,a4   + a5   =5 ,{ a4 ,a5 } = {2 ,3 },进而可得数列 Q 是 -2 ,4 ,10 ,2 , 3 ,1(此时 a1   + a2   =2 = a4 ,这不可能)或 -2 ,4 ,10 , 3 ,2 ,1(此时 a1   + a2   =2 = a5 ,这不可能))或 a2   + a3   +a4  =14(得 a3  +a4  =10 ,a5  =5 ,再由数列 Q 的连续 项和表示中有 13 ,可得数列 Q 是 -2 ,4 ,3 ,7 ,5 ,1(但  a2 +a3 =7 =a4 ,这不可能)或 -2 ,4 ,2 ,8 ,5 ,1(但 a1    +a2  =2 =a3 ,这不可能))或 a4  +a5  +a6  = 14(得 a4   +a5  =13 ,a3  =2 =a1  +a2 ,这不可能).
  
  综上所述,可得欲证结论成立.
  
  评注  这 道 压 轴 题 的 解 法 就 是 先 找 到 切 入 点“数列 Q :a 1  ,a2  ,a3  ,a4  ,a5  ,a6   的项满足 一 负五 正且负项在首或尾( 可不妨设负项在首)”,进而 可得数列 Q 的 所 有 正 项 之 和 是 20 ,其 连 续 项 和 表示中除 负 项 这 个 和 外 组 成 的 集 合 是 { 1 ,2 ,3 , … ,20 }. 接下来 ,消化这 一 条件就可证得欲证的 结论成立.
  
  参考文献 :
  
  [1 ] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标 准(2020 年修订版) [M ]. 北京 :人民教育出版社,2020 .

 
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