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对尺规作图的再理解 — 以 2021年福建省一道中考试题为例论文

发布时间:2022-08-05 10:16:26 文章来源:SCI论文网 我要评论














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  摘要:关于尺规作图的教学在我们的课堂中应该怎么教,教到什么程度,值得我们思考,以2021年福建省一道中考试题为例,阐述尺规作图的基本思路、操作流程与原理分析,对教学的实践进行思考,引导关注几何教学,发展学生核心素养.
 
  关键词:尺规作图;几何教学;初中数学
 
  尺规作图是初中数学几何教学中的一块重要内容,隶属于几何与图形板块,中考对尺规作图的考查常常涉及多种方式,试题往往以不同的形式呈现,但无论何种形式,了解作图的基本过程、理解作图的基本原理、掌握作图的基本技能与方法是解决问题的关键所在.


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  1对尺规作图的知识应用再理解
 
  (2021·福建)如图1,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.
 
  (1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
 
  (2)略.

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              图 1                       
 
  1.1试题分析
 
  本题的作图并没有明确指明使用哪一种基本作图方式,属于基本作图的应用,需要学生根据题意来选择怎样的基本作图操作来实现求解.此类试题的解决在于首先要明确几何图形的基本性质,然后根据其基本性质,使用几个基本的尺规作图进行叠加或组合完成.
 
  1.2解法分析
 
  下面给出10种不同的解法,从不同角度、不同方式来重新认识一下尺规作图.
 
  解法1作垂线得到点D
 
  如图2,使用“作一条线段等于已知线段”,以点A为圆心,a为半径画弧,在射线AK上作AB=a,作出点B,再次使用这个基本作图,作出等边三角形ABC,再过点C作CD⊥AR,垂足为点D,得到点D.

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                图 2               
 
  分析看到60°想到等边三角形,看到AR⊥AK想到作垂线得出CD∥AB.解法1使用2种基本作图得到答案.
 
  解法2作菱形得到点D
 
  如图3,同解法1得到点B和点C,再分别以点A,C为圆心,a为半径画弧,两弧交于点E,得到菱形ABCE或菱形ABEC,直线CE与AR交点即为点D.

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              图 3
 
  分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD∥AB,想到菱形的性质:对边平行,作菱形出平行.
 
  解法2使用5次同一种基本作图得到答案.
 
  解法3作菱形得到点D
 
  如图4,同解法2得到点E,再以点C为圆心,a为半径画弧,交AR于点F,得到菱形ACFE,菱形ACFE的对角线CE与AF的交点即为点D.
 
  分析看到60°想到等边三角形,看到AR⊥AK
 
  为了得出CD∥AB,故利用菱形的性质:对角线互相垂直,作点D.

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              图 4                   图 5
 
  解法4作一个角等于已知角得到点D
 
  如图5,同解法1得到点B和点C,在点C处利用“作一个角等于已知角”得到∠DCE=∠ABC,直线CD与AR的交点即为点D.
 
  分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD//AB想到了平行线的性质:同位角相等,两直线平行,作同位角相等得到答案.
 
  解法5作一个角等于已知角得到点D
 
  如图6,同解法1得到点B和点C,在点C处再用“作一个角等于已知角”,作出∠BCE=∠ABC或∠DCB=∠CBK,直线CD与AR的交点即为点D.分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD
 
  ∥AB想到了平行线的性质:内错角相等,两直线平行,作内错角相等得到答案.

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                               图 6
 
  解法6作线段垂直平分线,作一个角等于已知角得到点D
 
  如图7,同解法1得到点B和点C,“作线段AB的垂直平分线”,过点C作CE⊥AB于点E,得到AE=BE,用“作一个角等于已知角”,过点E作∠AED=∠ABC,得到△AED≌△EBC,ED∥BC,利用全等的对应边相等,得到ED=BC,故四边形EBCD是平行四边形,CD∥AB.
 
  分析看到60°想到等边三角形,为得到CD∥AB故作出平行四边形,由平行四边形的对边平行,得到答案.使用了3种基本作图得到答案.
 
  解法7作线段垂直平分线,作一条线段等于已知线段得到点D

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              图7                        图 8
 
  如图8,同解法1得到点B和点C,再作线段AB的垂直平分线得到点E,过点E作ED=BC,作点D.
 
  分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD//AB,利用AR⊥AK想到作矩形,利用矩形的对边平行.
 
  解法8作线段垂直平分线,过一点作已知直线的垂线得到点C
 
  如图9,同解法1得到点B,作线段AB的垂直平分线交AB于点E,过点E作ED=AB,得到△AED为含30°的直角三角形,作点D,过点D作AR的垂线交线段AB的垂直平分线于点C.
 
  分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,为了得到CD∥AB,作CD⊥AR.使用了3种基本作图得到答案.
 
  解法9作线段垂直平分线,过一点作已知直线的垂线得到点C
 
  如图10,同解法8得到点D,过点D作AR的垂线,再过点D作DC=AE,得到点C.
 
  分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,为了得到CD∥AB,作CD⊥AR,利用DC=AE得到点C.

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              图 9                        图 10
 
  解法10作线段垂直平分线得到点D
 
  如图11,同解法1得到点B和点C,作线段AC的垂直平分线交AC于点E,再以点E为圆心,EC为半径画弧,交AR于点D,作点D.
 
  分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD∥AB,看到AR⊥AK想到去得到∠ADC=90°,利用直径所对的圆角为90°,得到答案.

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            图11
 
  上述10种解法,大多采用1种多次使用或2种或3种基本的尺规作图组合完成,依据几何性质,找到相应的基本作图,产生出不同的解法.
 
  2对尺规作图的教学意义再理解
 
  2.1在尺规作图教学中,可以利用一题多解与多解归一方式培养核心素养
 
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  本题内涵丰富,解法多样,多种解法都能回归到最基本的尺规作图,教学中对每一种解题方法给出逻辑思考,让学生在历练基本作图的基础上,知法明理,结合直觉思维与逻辑推理,在动脑、动手的学习中培养学生的数学思维,形成良好的直觉思维和几何直观等核心素养.
 
  2.2在尺规作图教学中,可以利用逆向思维方式培养探究意识
 
  尺规作图不仅是一种操作,更是对数学思维和探究的一种过程,一种溯源过程.教师在教学中,要引导学生先自行独立思考,尝试各种解法,洞察学情,以学定教.
 
  2.3在尺规作图教学中,可以利用经典著作与故事渗透中国传统文化的教育
 
  尺规作图是数学文化长廊中的不可多得的耀眼明珠,广大数学爱好者围绕着它,产生了许多有趣的数学问题,利用经典著作与故事,可以更好地传播数学文化,在操作与求证过程中,能深刻体会到尺规作图彰显了数学独特的文化魅力.
 
  参考文献:
 
  [1]周建勋.无锡市中考尺规作图题的命制及思考[J].中学数学月刊,2014(11):43-45.
 
  [2]章飞.三个基本作图的方法思辨与教学实施[J].中学数学教学参考(中旬),2021(7):2-4.
 
  [3]顾香才.一道尺规作图题的多种作法与教学启示[J].中学数学教学参考(中旬),2020(4):40-42.
 
  [4]刘芳.对尺规作图教学的三个思考[J].初中数学教与学,2010(2):27-29.
 
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